Lenguaje de la Lógica Proposicional y tablas de verdad

 La lógica Proposicional pretende estudiar las frases declarativas simples (enunciados o proposiciones) que son los elementos básicos de transmisión de conocimiento humano. De manera informal, una proposición se define como una frase que puede ser considerada Verdadera o Falsa y que no se puede descomponer en otras frases Verdaderas o Falsas. Para relacionar las distintas proposiciones se utilizan las siguientes conectivas:

Alfabeto de la Lógica Proposicional El lenguaje de la lógica proposicional trabajará con los siguientes conjuntos de símbolos:

Ejemplos:

Son ejemplo de proposiciones lógicas:

1. $p:$ El gato es café.
2. $q:$ 3 es un número primo.
3. $r:$ 18 es múltiplo de 3 y múltiplo de 6.
4. $s:\pi <e\text{.}$

Estas proposiciones tienen un valor de verdad. En particular, $p,q,r$ son verdaderas mientras que $s$ es falsa.

No son ejemplos de proposiciones lógicas:

1. $p:$ ¿Qué hora es?
2. $q:$ Borra la pizarra.
3. $r:$ Tengo sueño.
4. $s:\pi +e\text{.}$

Existen proposiciones simples y compuestas. En el Ejemplo 1.1.1, $p,q,s$ son proposiciones simples, mientras que $r$ es compuesta.

permalinkLas proposiciones compuestas están formadas por más de una proposición simple, las cuales están unidas a través de conectivos lógicos.

Ejemplo:

La proposición $p:$ Puerto Montt es una ciudad de Chile y Montevideo es una ciudad de Uruguay es una proposición compuesta.

Esta formada por dos proposiciones simples: $q:$ Puerto Montt es una ciudad de Chile y $r:$ Montevideo es una ciudad de Uruguay; las cuales están unidas por el conectivo lógico "y".

Definición 1.1.4.

(Negación): Sea $p$ una proposición lógica. La negación de $p$ se denota $\overline{p}$ y toma el valor de verdad contrario a $p\text{.}$

Si $p:$ Ambato es una ciudad de Ecuador, su negación es $\overline{p}:$ Ambato no es una ciudad de Ecuador.

Si $q:e<\pi$ entonces su negación es $\overline{q}:\pi \le e\text{.}$

Definición 1.1.7.

(Conectivos Lógicos) Se definen los conectivos lógicos:

1. $\wedge \text{:}$ Conjunción ("y")
2. $\vee \text{:}$ Disyunción ("o").
3. $⊻:$ Disyunción Exclusiva ("o bien").
4. $\Rightarrow :$ Implicancia ("entonces").
5. $\iff :$ Equivalencia ("si y sólo si").

Tablas de verdad

Definición 1.1.8.

(Tablas de Verdad) Una Tabla de Verdad representa los valores de verdad que puede tomar una proposición compuesta, en función de todos los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que componen esta última.

La Tabla de Verdad de la Negación  corresponde a

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$p$	$\overline{p}$
V	F
F	V

Definición 1.1.11.

(Conjunción, "y lógico") Dados $p,q\text{;}$ dos proposiciones lógicas, se construye su conjunción como $(p\wedge q)\text{.}$ Se lee: $p$ y $q\text{.}$

$(p\wedge q)$ es verdadera si $p$ y $q$ son simultaneamente verdaderas. En los demás casos, es falsa. La conjunción posee la tabla de verdad

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$p$	$q$	$(p\wedge q)$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

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Definición 1.1.13.

(Disyunción, "o lógico") Dados $p,q\text{;}$ dos proposiciones lógicas, se construye su disyunción como $(p\vee q)\text{.}$ Se lee: $p$ o $q\text{.}$

$(p\vee q)$ es falsa si $p$ y $q$ son simultaneamente falsas. En los demás casos, es verdadera. La disyunción posee la tabla de verdad

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$p$	$q$	$(p\vee q)$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

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Definición 1.1.15.

(Disyunción Exclusiva, "o bien") Dados $p,q\text{;}$ dos proposiciones lógicas, se construye su disyunción exclusiva como $(p⊻q)\text{.}$ Se lee: $p$ o bien $q\text{.}$

$(p⊻q)$ es falsa si $p$ y $q$ tienen el mismo valor de verdad. En caso contrario, es verdadera. La disyunción exclusiva posee la tabla de verdad

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$p$	$q$	$(p⊻q)$
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

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Definición 1.1.17.

(Implicancia, "entonces") Dados $p,q\text{;}$ dos proposiciones lógicas, se construye su implicancia como $(p\Rightarrow q)\text{.}$ Se lee: $p$ entonces $q\text{.}$

$(p\Rightarrow q)$ es falsa si $q$ es falsa. En los demás casos, es verdadera. La implicancia posee la tabla de verdad

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$p$	$q$	$(p\Rightarrow q)$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

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Definición 1.1.19.

(Equivalencia, "si y sólo si") Dados $p,q\text{;}$ dos proposiciones lógicas, se construye su equivalencia como $(p\iff q)\text{.}$ Se lee: $p$ si y sólo si $q\text{.}$

$(p\iff q)$ es verdadera si $p$ y $q$ tienen el mismo valor de verdad. En caso contrario, es falsa. La equivalencia posee la tabla de verdad

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$p$	$q$	$(p\iff q)$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V